Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ）且α-β∈（-

π

2

，0），
（Ⅰ）若

a

•

b

=

3

2

，求α-β的值；
（Ⅱ）若|

a

-

b

|=

10

5

且α=

π

3

，求sinβ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=

3

2

，且α-β∈（-

π

2

，0），求出α-β的值；
（Ⅱ）由|

a

-

b

|=

10

5

，|

a

|=|

b

|=1，求出cos（α-β），sin（α-β）的值；又α=

π

3

，得出sinβ的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=

3

2

；
∵α-β∈（-

π

2

，0），
∴α-β=-

π

6

；
（Ⅱ）∵|

a

-

b

|=

10

5

，|

a

|=|

b

|=1，
∴|

a

-

b

|2=2-2

a

•

b

=(

10

5

)2=

2

5

，
∴

a

•

b

=

4

5

=cos（α-β），
∴sin（α-β）=-

3

5

，
∵α=

π

3

，
∴cos（

π

3

-β）=

4

5

，sin（

π

3

-β）=-

3

5

，
∴sinβ=sin[

π

3

-（

π

3

-β）]=

3

2

×

4

5

-

1

2

×（-

3

5

）=

3+4 3

10

．

点评：本题考查了平面向量的应用以及三角函数求值的问题，解题时应熟练地应用平面向量的运算法则和三角函数的公式化简、求值，是综合题目．