Question

已知函数f（x）=-

1

3

x³+

a

2

x²-2x，g（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+（a+2）x+

a+1

x

-lnx，（a∈R）
（Ⅰ）当a=3时，x∈[

3

2

，2]，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）当a≥-1时，讨论函数F（x）=f（x）+g（x）的单调性；
（Ⅲ）若过点（0，-

1

3

）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=3时，x∈[

3

2

，2]，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）当a≥-1时，分类讨论，利用导数的正负，即可得出函数F（x）=f（x）+g（x）的单调性；
（Ⅲ）先求出切线方程，点（0，-

1

3

）代入，化简可得

2

3

t³-

a

2

t²+

1

3

=0．过点（0，-

1

3

）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，等价于

2

3

t³-

a

2

t²+

1

3

=0有三个不同的实数解，g（t）=

2

3

t³-

a

2

t²+

1

3

，则函数的极大值与极小值异号，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）当a=3时，f′（x）=-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
∴x∈[

3

2

，2]时，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴函数f（x）的最大值为f（2）=-

2

3

；
（Ⅱ）F（x）=f（x）+g（x）=ax+

a+1

x

-lnx，F′（x）=

ax2-x-(a+1)

x2

．
a=0，F′（x）=-

x+1

x2

，∵x＞0，∴F′（x）＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；
a＞0，F′（x）=

(x+1)(ax-a-1)

x2

＞0，x＞

a+1

a

，∴函数在（0，

a+1

a

）上单调递减；在（

a+1

a

，+∞）上单调
递增；
-1≤a＜0，F′（x）=

(x+1)(ax-a-1)

x2

＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；
（Ⅲ）设切点为P（t，-

1

3

t³+

a

2

t²-2t），则切线斜率为k=f′（t）=-t²+at-2，
∴切线方程为y+

1

3

t³-

a

2

t²+2t=（-t²+at-2）（x-t），
点（0，-

1

3

）代入，化简可得

2

3

t³-

a

2

t²+

1

3

=0．
∵过点（0，-

1

3

）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，
∴

2

3

t³-

a

2

t²+

1

3

=0有三个不同的实数解．
令g（t）=

2

3

t³-

a

2

t²+

1

3

，则函数的极大值与极小值异号，
由g′（t）=2t²-at=0，可得t=0或t=

a

2

，
∴

1

3

（

2

3

•

a3

8

-

a

2

•

a2

4

+

1

3

）＜0，
∴a＞2．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论，等价转化的数学思想，有难度．