Question

在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（x，y）（y≤0）到点F（0，2）的距离为d₁，到x轴的距离为d₂，且d₁-d₂=2．
（Ⅰ）求点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若直线l斜率为1且过点（1，0），其与轨迹E交于点M、N，求|MN|的值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用抛物线的定义，可求点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=x-1，联立x²=-8y（y≤0），利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|MN|的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵动点P（x，y）（y≤0）到点F（0，2）的距离为d₁，到x轴的距离为d₂，且d₁-d₂=2，
∴由抛物线的定义可知，x²=-8y（y≤0）；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线l：y=x-1，联立x²=-8y（y≤0），得x²+8x-8=0，
∴x₁+x₂=-8，x₁x₂=-8，
∴|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

2

•

(-8)2-4(-8)

=8

3

，．

点评：本题考查抛物线的定义域方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，确定抛物线的方程是关键．