Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N₊）
（1）证明：数列{

2n

an

}是等差数列；           
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设b_n=（2n-1）（n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列的定义即可证明：数列{

2n

an

}是等差数列；           
（2）利用（1）求出

2n

an

的通项公式，即可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）利用错位相减法即可求数列{b_n}的前n项和S_n

解答： 解：（1）取倒数得：

1

an+1

=

1

2n+1

+

1

2an

，两边同乘以2ⁿ⁺¹得：

2n+1

an+1

=1+

2n

an

，
所以数列{

2n

an

}是以

21

a1

=2为首项，以1为公差的等差数列．
（2）∵{

2n

an

}是以

21

a1

=2为首项，以1为公差的等差数列．，
∴

2n

an

=

2

1

+(n-1)×1，
即an=

2n

n+1

．
（3）由题意知：bn=(2n-1)•2n则前n项和为：Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，
2S_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
由错位相减得：-Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1，
∴Sn=(2n-3)×2n+1+6．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用错位相减法是解决本题的关键．