Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（其中O为坐标原点），求整数t的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得e=

c

a

=

2

2

，b=

2

1+1

=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1.

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出t的最大整数值．

解答： 解：（Ⅰ）由题知e=

c

a

=

2

2

，
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

．即a²=2b²．
又∴b=

2

1+1

=1，
∴a²=2，b²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．
设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1.

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，
k2＜

1

2

.x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

…（8分）
∵

OA

+

OB

=t

OP

，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

．
∵点P在椭圆上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，
∴16k²=t²（1+2k²）…（12分）
t2=

16k2

1+2k2

=

16

1 k2 +2

＜

16

2+2

=4，则-2＜t＜2，
∴t的最大整数值为1．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．