Question

已知双曲线C的焦点F（

3

，0），双曲线C上一点P到F的最短距离为

3

-

2

．
（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程；
（2）已知点M（0，1），设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点：设λ=

MP

•

MQ

，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意知c，a再根据b²=c²-a²，问题得以解决，再令双曲线方程的右边为0，化简即可得到双曲线的渐近线方程；
（2）用坐标表示向量，利用向量的数量积建立函数关系式，根据双曲线的范围，可求得λ的取值范围．

解答： 解：（1）∵双曲线C的焦点F（

3

，0），双曲线C上一点P到F的最短距离为

3

-

2

．
可设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴c=

3

，c-a=

3

-

2

，
∴a=

2

，
∴b²=c²-a²=(

3

)2-(

2

)2=1，
则双曲线的方程为：

x2

2

-y2=1，
令

x2

2

-y2=0，
则y=±

2

2

x，
即渐近线方程为y=±

2

2

x；
（2）设P的坐标为（x₀，y₀），则Q的坐标为（-x₀，-y₀），
∴λ=

MP

•

MQ

=（x₀，y₀-1）•（-x₀，-y₀-1）=-x02-y02+1=-

3

2

x02+2
∵|x0|≥

2

∴λ的取值范围是（-∞，-1]．

点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质，考查向量的数量积，考查函数的值域，属于中档题．