Question

直线L₁，L₂都过点（1，-2）且互相垂直，若抛物线y=ax²与两直线中至少一条相交，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意直线l₁，l₂的斜率分别设为k₁，k₂，过点P（1，-2）的直线设为y=k（x-1）-2，由由y=k（x-1）-2与抛物线y=ax²联立，得ax²-kx+k+2=0，由直线l₁、l₂都过点P（1，-2）且都与抛物线相切，知a≠0，△=k²-4ak-8a≥0，再由l₁⊥l₂，能求出a的取值范围．

解答： 解：由题意直线L₁，L₂的斜率，分别设为k₁，k₂，
过点P（1，-2）的直线设为y=k（x-1）-2，
由y=k（x-1）-2与抛物线y=ax²联立，得ax²-kx+k+2=0，
∵抛物线y=ax²与两直线中至少一条相交，
∴a≠0，△=k²-4ak-8a≥0
∵l₁⊥l₂，
∴k₁k₂=

k+2

a

=-1，
∴k=-a-2，
∴（-a-2）²-4（-a-2）a-8a≥0，
∴5a²+4a+4≥0，恒成立
斜率不存在时，同样成立．
∴a≠0．

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．