Question

在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（x，y）（y≤0）到点F（0，-2）的距离为d₁，到x轴的距离为d₂，且d₁-d₂=2．
（Ⅰ）求点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若直线l斜率为1且过点（1，0），其与轨迹E交于点M、N，求|MN|的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意可得：

PF

=(x，y+2)，根据|PF|-|y|=2  及 y≤0，得

x2+(y+2)2

-|y|=2，化简可得动点P的轨迹E的方程．
（Ⅱ）直线l的方程为：y=x-1，联立

y=x-1 x2=-8y(y≤0)

，得x²+8x-8=0，由此利用椭圆弦长公式能求出|MN|的值．

解答： 解：（Ⅰ）：（Ⅰ）由题意得：

PF

=(x，y+2)，
根据|PF|-|y|=2  及 y≤0，得

x2+(y+2)2

-|y|=2，
化简，整理得x²=-8y（y≤0）．
所求动点P的轨迹E的方程x²=-8y（y≤0）．
（Ⅱ）∵直线l斜率为1且过点（1，0），
∴直线l的方程为：y=x-1，
联立

y=x-1 x2=-8y(y≤0)

，得x²+8x-8=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-8，x₁x₂=-8，
∴|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

2

•

(-8)2-4(-8)

=8

3

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查弦长的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．