Question

在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，|

OM

|=

5

，

ON

=

2 5

5

OM

．过点M作MM₁⊥y轴于M₁，过N作NN₁⊥x轴于点N₁，

OT

=

M1M

+

N1N

．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．
（1）求曲线C的方程；
（2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；
（3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若

AP

=t

AQ

，证明

SB

=t

BQ

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），则M₁的坐标为（0，y'），由已知条件推导出x′=x，y′=

5

2

y．由此能求出曲线C的方程．
（2）设直线l的方程为y=k（x-5），由方程组

x2 5 + y2 4 =1 y=k(x-5)

，得（5k²+4）x²-50k²x+125k²-20=0．由此能求出不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．
（3）由已知条件得

x1-5=t(x2-5)，(1) y1=ty2，(2) x 2 1 5 + y 2 1 4 =1，(3) x 2 2 5 + y 2 2 4 =1．，(4)

，由此能证明

SB

=t

BQ

．

解答： （1）解：设点T的坐标为（x，y），
点M的坐标为（x'，y'），则M₁的坐标为（0，y'），

ON

=

2 5

5

OM

=

2 5

5

(x′，y′)，
∴点N的坐标为(

2 5

5

x′，

2 5

5

y′)，N₁的坐标为(

2 5

5

x′，0)，
∴

M1M

=(x′，0)，

N1N

=(0，

2 5

5

y′)．
由

OT

=

M1M

+

N1N

，
∴（x，y）=（x′，0）+（0，

2 5

5

y′），∴

x=x′ y= 2 5 5 y′

，
∴x′=x，y′=

5

2

y．
由|

OM

|=

5

，得x^'2+y^'2=5，∴x2 +(

5

2

y)2=5，
整理，得：

x2

5

+

y2

4

=1，
∴曲线C的方程是

x2

5

+

y2

4

=1．…（3分）
（2）证明：点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，
当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，
∴直线l斜率存在，并设为k．直线l的方程为y=k（x-5）．
由方程组

x2 5 + y2 4 =1 y=k(x-5)

，得（5k²+4）x²-50k²x+125k²-20=0．
依题意△=20（16-80k²）＞0，解得-

5

5

＜k＜

5

5

．
当-

5

5

＜k＜

5

5

时，设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为R（x₀，y₀），
则x1+x2=

50k2

5k2+4

，x0=

x1+x2

2

=

25k2

5k2+4

．
∴y0=k(x0-5)=k(

25k2

5k2+4

-5)=

-20k

5k2+4

．
又|BP|=|BQ|，∴BR⊥l，∴k•k_BR=-1，
∴k•k_BR=k•

20k 5k2+4

1- 25k2 5k2+4

=

20k2

4-20k2

=-1，
整理，得20k²=20k²-4，
∵20k²=20k²-4不可能成立，
∴不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．…（7分）
（3）证明：由题意有S(x1，-y1)，

AP

=(x1-5，y1)，

AQ

=(x2-5，y2)，

AP

=t

AQ

，
则有方程组

x1-5=t(x2-5)，(1) y1=ty2，(2) x 2 1 5 + y 2 1 4 =1，(3) x 2 2 5 + y 2 2 4 =1．，(4)

，
由（1）得x₁=t（x₂-5）+5，（5）
将（2），（5）代入（3），得4[t(x2-5)+5]2+5t2

y

2 2

=20．
整理并将（4）代入得(t2-1)+2(1-t)tx2+5(1-t)2=0，
由题意知t＞1，解得x2 =

3t-2

t

．
∵B（1，0），S（x₁，y₁），
∴

SB

=(1-x1，y1)，

BQ

=(x2-1，y2)，
∴

SB

-t

BQ

=（1-x₁，y₁）-t（x₂-1，y₂）
=（1-x₁-t（x₂-1），y₁-ty₂）
=（1-t（x₂-5）-5-t（x₂-1），0）
=（-4-t（2x₂-6），0）
=（-4-t（

6t-4

t

-6），0）
=（0，0）．
∴

SB

=t

BQ

．…（12分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的直线不存在的证明，考查向量相等的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．