Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，短轴端点到焦点的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A，B椭圆C上任意两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点），
（ⅰ）试判断原点O到直线AB的距离是否为定值；若是，求出该值；若不是，请说明理由？
（ⅱ）点P是以椭圆C的长轴为直径的圆上任意一点，求△PAB的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

c a = 3 2 a=2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）（ⅰ）当直线AB的斜率不存在时，原点O到直线AB的距离为

2 5

5

．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识求得m2=

4

5

(1+k2)，由此利用点到直线距离公式能求出原点O到直线AB的距离．
（ⅱ）当直线AB的斜率不存在时|AB|=

4 5

5

，当直线AB的斜率存在时，|AB|最大值为

5

，由此能求出S_△PAB的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，
短轴端点到焦点的距离为2，
∴

c a = 3 2 a=2

，解得a=2，c=

3

，
∴b²=a²-c²=4-3=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=±

2 5

5

，
原点O到直线AB的距离为

2 5

5

．…（5分）
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=16（1+4k²-m²）＞0，
x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

，…（7分）
由

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

5m2-4-4k2

1+4k2

=0，
得m2=

4

5

(1+k2)，…（8分）
∴原点O到直线AB的距离d=

|m|

k2+1

=

4 5 (1+k2)

1+k2

=

2 5

5

．
综上所述，原点O到直线AB的距离为

2 5

5

．…（9分）
（ⅱ）当直线AB的斜率不存在时|AB|=

4 5

5

当直线AB的斜率存在时，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

=

4

5

1+ 9k2 16k4+8k2+1

…（11分）
当k≠0时，|AB|=

4

5

1+ 9 16k2+ 1 k2 +8

≤

5

，当k=±

1

2

时等号成立．
当k=0时，|AB|=

4 5

5

．
∴|AB|最大值为

5

．…（13分）
由（ⅰ）知：点P到直线AB的距离最大值为

2 5

5

+2，…（14分）
∴S_△PAB的最大值为1+

5

．…（15分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离是否为定值的判断与求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．