Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，有S_n，

a

2(a-1)

an，n（其中a≠0，a≠1）成等差数列，令b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n（用a，n表示）；
（2）当a=

8

9

时，数列{b_n}是否存在最小项，若存在，请求出第几项最小；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n，

a

2(a-1)

an，n成等差数列得到数列{a_n}的递推式，取n=n+1得另一递推式，两式作差后即可得到数列{a_n+1}是以a为公比的等比数列，求出其通项公式后可得数列{a_n}的通项公式；
（2）把（1）中求得的a_n代入b_n=（a_n+1）lg（a_n+1），再把a=

8

9

代入得到数列{b_n}的通项公式，作差后根据n的不同取值得到差式的不同符号，由此判断数列{b_n}中存在最小项且第8项和第9项最小．

解答： 解：（1）由题意得

a

a-1

an=Sn+n  ①
∴

a

a-1

an+1=Sn+1+n+1  ②
②-①得，

1

a-1

an+1=

a

a-1

an+1，
即a_n+1+1=a（a_n+1），
∴{a_n+1}是以a为公比的等比数列．
则an+1=(a1+1)an-1，
又

a

a-1

a1=a1+1，
∴a₁=a-1，
∴an=an-1；
（2）∵an=an-1，
由b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
∴bn=nanlga．
当a=

8

9

时，
bn=n(

8

9

)nlg

8

9

，
∴bn+1-bn=

8-n

9

•(

8

9

)n•lg

8

9

．
当n＜8时，b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n，
∴b₁＞b₂＞…＞b₈，
当n=8时，b_n+1-b_n=0，即b_n+1=b_n，b₈=b₉，
当n＞8时，b_n+1-b_n＞0，即b_n+1＞b_n，
∴b₉＜b₁₀＜…，
∴存在最小项且第8项和第9项最小．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的通项公式的求法，训练了作差法比较两个数的大小，是中档题．