Question

已知M（2，2

2

）为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设A、B抛物线C上异于原点O的两点且∠AOB=90°，求证：直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）M（2，2

2

）代入抛物线方程，即可求抛物线的标准方程；
（2）分类讨论，与抛物线方程联立，利用OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，可得直线AB的方程，即可得出结论．

解答： （1）解：∵M（2，2

2

）为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，
∴8=4p，
∴p=2，
∴抛物线的标准方程为y²=4x    （5分）
（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立y²=4x得kx²+（2km-4）x+m²=0，
依题意有k≠0，x₁+x₂=-

2km-4

k2

且x₁x₂=

m2

k2

①，（6分）
∵∠AOB=90°，
∴OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0（8分）
①代入化简得m²+4km=0，故m=-4k，此时直线l：y=kx-4k=（x-4）k，恒过点N（4，0）（10分）
当直线l的斜率不存在时，设l：x=t，可解得t=4，故直线恒过定点N（4，0）（12分）

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，证明直线AB必过定点时，要熟练掌握其中设而不求的解题思想．