Question

已知四棱锥P-ABCD，PD⊥面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AD=

2

，CD=4，PD=2，E为AP上一点，DE⊥AP，F是平面DEC与BP的交点．
（Ⅰ）求证：EF∥AB；
（Ⅱ）求证：AP⊥面EFCD；
（Ⅲ）求PC与面EFCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由AB∥DC，DC?面PAB，AB?面PAB，根据线面平行的判定定理推断出DC∥面PAB，又面PAB∩面DEFC=EF根据线面平行的性质可推断出EF∥DC，进而可知EF∥AB．
（Ⅱ）由PD⊥面ABCD，推断出PD⊥CD，又AD⊥CD，PD∩AD=D线面垂直的判定定理知CD⊥面PAD，进而可知AP⊥CD，又AP⊥ED，CD∩DE=D，推断出AP⊥面EFCD，
（Ⅲ）以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P，C，A，

AP

，

PC

分别可知，设E（x，0，z）由

DE

⊥

AP

且

AP

∥

AE

可得

2 x-2z=0 2 x-2=-z

，解得x和z，进而求得E点坐标，设

n

=（m，n，p）为平面EFCD的一个法向量则有

2 2 3 m+ 2 3 p=0 4n=0

，令m=1，p=-

2

，则

n

可求得，最后利用向量是数量积求得PC与面EFCD所成角的余弦值，则其正弦值可得．．

解答： 解：（Ⅰ）AB∥DC，DC?面PAB，AB?面PAB，
∴DC∥面PAB，
又∵面PAB∩面DEFC=EF
∴EF∥DC，
∴EF∥AB．
（Ⅱ）∵PD⊥面ABCD，
∴PD⊥CD，
又AD⊥CD，PD∩AD=D
∴CD⊥面PAD，
∵AP?面PAD，
∴AP⊥CD，
又∵AP⊥ED，CD∩DE=D
∴AP⊥面EFCD，
（Ⅲ）以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
P（0，0，2），C（0，4，0），A（

2

，0，0），

AP

=（-

2

，0，2），

PC

=（0，4，-2），
设E（x，0，z）由

DE

⊥

AP

且

AP

∥

AE

可得

2 x-2z=0 2 x-2=-z

，解得

x= 2 2 3 z= 2 3

，∴E（

2 2

3

，0，

2

3

），
设

n

=（m，n，p）为平面EFCD的一个法向量则有

2 2 3 m+ 2 3 p=0 4n=0

，令m=1，p=-

2

，∴

n

=（1，0，-

2

），
cos＜

n

，

PC

＞=

2 2

3 × 20

=

30

15

∴PC与面EFCD所成角的正弦值为

30

15

．

点评：本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理和性质，空间法向量的运用．考查了学生基础知识的综合运用．