Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=

1

2

CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥面PAD？说明理由．
（2）设M为PC中点，PA=1，求P-ABM体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）存在点Q为PC中点时，满足BQ∥面PAD；证明当Q为PC的中点时，BQ∥平面PAD即可；
（2）利用等积法求出三棱锥P-ABM的体积．

解答： 解：（1）存在点Q为PC中点时，满足BQ∥面PAD；
证明：延长DA交CB延长线于E，连接PE，
∴B为EC中点；
当Q为PC的中点时，BQ∥PE；
又BQ?面PAD，PE?面PAD，
∴BQ∥平面PAD；
（2）三棱锥P-ABM的体积为
V_{三棱锥P-ABM}=V_{三棱锥B-PAM}
=

1

2

V_{三棱锥B-PAC}=

1

2

V_{三棱锥P-ABC}
=

1

2

×

1

3

×1×1×

1

2

×1=

1

12

．

点评：本题考查了空间中的线面平行的判定问题以及求锥体的体积问题，解题时应明确线面平行的条件是什么，锥体的体积公式是什么，以便灵活地解答问题．