Question

已知函数f（x）=﹣e^x+kx+1，x∈R．
（1）若k=2e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＜1恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）由k=2e得f（x）=﹣e^x+2ex
所以f'（x）=﹣e^x+2e．
由f'（x）＞0得x＜ln2+1，
故f（x）的单调递增区间是（﹣∞，1+ln2）
由f'（x）＜0得x＞ln2+1，
故f（x）的单调递减区间是（1+ln2，+∞）
（2）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．
于是f（|x|）＜1对任意x∈R成立
等价于f（x）＜1对任意x≥0成立．
由f'（x）=﹣e^x+k=0得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f'（x）=﹣e^x+k＜﹣1+k≤0（x＞0）．
此时f（x）在[0，+∞）上单调递减，
故f（x）≤f（0）=0＜1，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，当x变化时f'（x），f（x）变化情况如下表：

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≤f（lnk）=﹣elnk+klnk+1．
依题意，﹣elnk+klnk+1＜1，
又k＞1，
∴1＜k＜e．
综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．