Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n表示该数列前n项的和，且对任意正整数n，恒有2S_n=a_n（a_n+1），设bn=

n

i=1

1

an+i

．
（1）求a₁；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}的最小项．

Answer 1

分析：（1）n=1时，2S₁=a₁（a₁+1），由 S₁=a₁，a₁＞0，解得a₁  的值．
（2）n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，把2S_n=a_n（a_n+1），2S_n-1=a_n-1（a_n-1+1），作差可得a_n-a_n-1=1，对n≥2时恒成立，因此数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，故a_n=n．
（3）根据b_n+1-b_n=

n+1

i=1

1

n+1+i

-

n

i=1

1

n+i

=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，对任意正整数n恒成立，可得数列{b_n}为递增数列，故数列{b_n}的最小项为b1=

1

2

．

解答：解：（1）n=1时，2S₁=a₁（a₁+1），S₁=a₁，a₁＞0，解得a₁=1．
（2）n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，2S_n=a_n（a_n+1），2S_n-1=a_n-1（a_n-1+1），
作差得 2a_n=a_n（a_n+1）-a_n-1（a_n-1+1），整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，∵a_n＞0，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1，对n≥2时恒成立，因此数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，故a_n=n．
（3）∵bn=

n

i=1

1

an+i

=

n

i=1

1

n+i

，∴b_n+1-b_n=

n+1

i=1

1

n+1+i

-

n

i=1

1

n+i

=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

 
=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，对任意正整数n恒成立，
∴数列{b_n}为递增数列，∴数列{b_n}的最小项为b1=

1

2

．

点评：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，判断一个数列是递增数列的方法，求出数列{a_n}的通项公式，是解题的关键．