Question

（2012•福州模拟）如图①，一条宽为l km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km
（Ⅰ）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆仰，需要改造，旧电缆的改造费用是0.5万元/km．现决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．
（Ⅱ）如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、EB．若∠DCE=θ （0≤θ≤

P

3

），试用θ表示出总施工费用y（万元）的解析式，并求y的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得△ABC为等边三角形．因为CD⊥AD，所以水下电缆的最短线路为CD．过D作DE⊥AB于E，可知地下电缆的最短线路为DE、AB．由此能求出该方案的总费用．
（Ⅱ）因为∠DCE=θ，0≤θ≤

π

3

，所以CE=EB=

1

cosθ

，ED=tanθ，AE=

3

-tanθ．（7分）则y=2×

3-sinθ

cosθ

+2

3

，令g(θ)=

3-sinθ

cosθ

，则g′（θ）=

3sinθ-1

cos2θ

，由此能求出施工总费用的最小值．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知可得△ABC为等边三角形．
因为CD⊥AD，所以水下电缆的最短线路为CD．
过D作DE⊥AB于E，可知地下电缆的最短线路为DE、AB．（3分）
又CD=1，DE=

3

2

，AB=2，
故该方案的总费用为
1×4+

3

2

×2+2×0.5=5+

3

．（万元）            …（6分）
（Ⅱ）因为∠DCE=θ，0≤θ≤

π

3

，
所以CE=EB=

1

cosθ

，ED=tanθ，AE=

3

-tanθ．（7分）
则y=

1

cosθ

×4+

1

cosθ

×2+（

3

-tanθ）×2
=2×

3-sinθ

cosθ

+2

3

，（9分）
令g(θ)=

3-sinθ

cosθ

，
则g′（θ）=

-cos2θ-(3-sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

3sinθ-1

cos2θ

，（10分）
因为0≤θ≤

π

3

，所以0≤sinθ≤

3

2

，
记sinθ1=

1

3

，θ1∈(0，

π

3

)，
当0≤sinθ＜

1

3

，即0≤θ＜θ₁时，g′（θ）＜0，
当

1

3

＜sinθ≤

3

2

，即θ1＜θ≤

π

3

时，g′（x）＞0，
所以g（θ）_min=g（θ₁）=

3- 1 3

2 2 3

=2

2

，
从而y≥4

2

+2

3

，（12分）
此时ED=tanθ₁=

2

4

，
因此施工总费用的最小值为（4

2

+2

3

）万元，其中ED=

2

4

．（13分）

点评：本题考查函数在生产实际中的应用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．