Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（m，cos（

π

4

-2x）），

b

=（1+sin（2x+

π

4

），1），x∈R，且函数y=f（x）的图象经过点(

π

8

，3)，
（1）求实数m的值；
（2）求函数f（x）的最小值及此时x的值的集合．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为 m[1+2sin（2x+

π

4

）]，再由y=f（x）的图象经过点(

π

8

，3)，可得m（1+2sin

π

2

）=3，求得 m的值．
（2）由（Ⅰ）得当sin(2x+

π

4

)=-1时，f（x）的最小值为-1，此时，由sin(2x+

π

4

)=-1，可得2x+

π

4

=2 kπ-

π

2

，k∈z，从而求得x值的集合．

解答：解：（1）∵f(x)=a•b=m[1+sin(2x+

π

4

)]+cos(

π

4

-2x)=m[1+sin(2x+

π

4

)]+sin(2x+

π

4

)，
由已知 f(

π

8

)=m(1+2sin

π

2

)=3，求得m=1．…（6分）
（2）由（Ⅰ）得f(x)=1+2sin(2x+

π

4

)，∴当sin(2x+

π

4

)=-1时，f（x）的最小值为-1，
此时，sin(2x+

π

4

)=-1，故有 2x+

π

4

=2 kπ-

π

2

，k∈z，求得x值的集合为{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．…（12分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．