Question

两个边长均为3的正方形ABCD和ABEF所在平面垂直相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN．
（1）证明：MN∥平面BCE；
（2）当AM=FN=

2

  时，求MN的长度．

Answer 1

分析：（1）证法一：（线面平行的判定定理法）作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连接PQ，先证出Rt△MCP≌Rt△NBQ，进而得到四边形MPQN为平行四边形．则MN∥PQ，再由线面平行的判定定理得到答案．
证法二：（面面平行的性质法）过M作MH⊥AB于H，连接NH，由面面平行的判定定理证明出平面MNH∥平面BCE，进而由面面平行的性质得到MN∥平面BCE；
（2）当AM=FN=

2

时，根据（1）中比例关系，我们可又求出MH，NH的长，解Rt△MNH可得答案．

解答：证明：（1）证法一：（线面平行的判定定理法）
如图一，作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连接PQ，
则MP∥AB，NQ∥AB．
所以MP∥NQ，
又AM=NF，AC=BF，
所以MC=NB．
又∠MCP=∠NBQ=45°，
所以Rt△MCP≌Rt△NBQ，
所以MP=NQ．
故四边形MPQN为平行四边形．
所以MN∥PQ．…..（4分）
因为PQ∥平面BCE，MN∥平面BCE，
所以MN∥平面BCE…..（6分）
法二：如图二，过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC．
所以

AM

AC

=

AH

AB

．
连接NH，由BF=AC，FN=AM，得

FN

FB

=

AH

AB

，
所以NH∥AF∥BE．…..（2分）
又∵NH∩BH=H，BC∩BE=B，NH，BH?平面MNH，BC，BE?平面BCE
∴平面MNH∥平面BCE…..（4分）
因为MN?平面MNH，
所以MN∥平面BCE．…..（6分）
（2）如图二，∵AM=FN=

2

由比例关系易得：
∵

AM

AC

=

FN

FB

=

AH

AB

=

MH

BC

=

1

3

，
∴在Rt△ABC中，MH=1，
在Rt△ABF中，NH=2，
∴在Rt△MNH中，MN=

5

．…..（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，点到点的距离的计算，其中熟练掌握空间线面关系证明的不同方法是解答的关键．