Question

（2011•上海）对于给定首项x₀＞

3	a

（a＞0），由递推公式x_n+1=

1

2

（x_n+

a xn

）（n∈N）得到数列{x_n}，对于任意的n∈N，都有x_n＞

3	a

，用数列{x_n}可以计算

3	a

的近似值．
（1）取x₀=5，a=100，计算x₁，x₂，x₃的值（精确到0.01）；归纳出x_n，x_n+1，的大小关系；
（2）当n≥1时，证明：x_n-x_n+1＜

1

2

（x_n-1-x_n）；
（3）当x₀∈[5，10]时，用数列{x_n}计算

3	100

的近似值，要求|x_n-x_n+1|＜10^-4，请你估计n，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，代入计算，即可得到结论，同时可猜想结论；
（2）作差，利用条件，证明其大于0，即可得到结论；
（3）由题意，只要

1

2n

(x0-x1)＜10-4，由此可估计n的值．

解答：（1）解：∵x₀=5，a=100，x_n+1=

1

2

（x_n+

a xn

）
∴x₁=

1

2

（5+

100 5

）≈4.74
同理可得x₂≈4.67，x₃≈4.65
猜想x_n＞x_n+1；
（2）证明：x_n-x_n+1-

1

2

（x_n-1-x_n）=xn-

1

2

a xn

-

1

2

xn-1=

a

2

•

xn - xn-1

xn-1xn

∵xn＞

3	a

；
∴x_n-x_n+1=

1

2

(xn-

a xn

)=

1

2

•

xn3 - a

xn

＞0
∴x_n＞x_n+1
∴xn-xn+1＜

1

2

(xn-1-xn)；
（3）解：由（2）知0＜xn-xn+1＜

1

2

(xn-1-xn)＜…＜

1

2n

(x0-x1)
由题意，只要

1

2n

(x0-x1)＜10-4，即2ⁿ＞10⁴（x₀-x₁）
∵x0-x1=

1

2

(x0-

10

x0

)
∴n＞log2(104•

10- 10

2

)=15.1
∴n=16．

点评：本题考查数列递推式，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．