Question

在△ABC中，角B=45°，角B的对边b=2，若这样的三角形有且只有一解，则角A的对边a的取值范围为

（0，2]∪{2

2

}

．

Answer 1

分析：由B的度数求出sinB的值，再由b的值，利用正弦定理得出a与sinA的关系式，同时由B的度数求出A+C的度数，再根据三角形只有一解，可得A只有一个值，根据正弦函数的图象与性质得到A的范围，且当A为直角时，也满足题意，进而由A的范围，求出正弦函数的值域，根据a与sinA的关系式，由正弦函数的值域即可可得出a的范围．

解答：解：∵B=45°，b=2，
根据正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=2

2

，
∴a=2

2

sinA，
又A+C=180°-45°=135°，且三角形只一解，可得A有一个值，
∴0＜A≤45°，
又A=90°时，三角形也只有一解，
∴0＜sinA≤

2

2

，或sinA=1，
又a=2

2

sinA，
∴a的取值范围为（0，2]∪{2

2

}．
故答案为：（0，2]∪{2

2

}

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，正弦函数的图象与性质，正弦函数的定义域和值域，以及特殊角的三角函数值，考查了学生综合分析问题及基本运算的能力，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．