Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别在线段AB₁、BC₁上，且AM=BN．以下结论：①AA₁⊥MN；②A₁C₁
∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN与A₁C₁异面，其中有可能 成立的结论的个数为

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

A
分析：根据题意，分析命题：首先利用点M∈AB₁，N∈BC₁，M，N可以是这两条直线上的任意的点，取特殊位置，得出②④两个结论可能成立，做出辅助线作MM′⊥A₁B₁于M′，作NN′⊥B₁C₁于N′，得到①③两个命题是正确的．
解答：当M为A，N为B，得出④可能成立；
当M为AB₁的中点，N为BC₁的中点，得出②可能成立；
作MM′⊥A₁B₁于M′，作NN′⊥B₁C₁于N′，
易证|MM′|=|NN′|，MM′∥NN′
∴MN∥M′N′，
由此知①③正确．
有可能 成立的结论的个数为4．
故选A．
点评：本题考查正方体的结构特征，考查选择题的特殊解法和判断一个命题是否正确，若是错误的只要用反例来得到错误即可，不用证明．