Question

若点P到点F（

1

2

，0）的距离与它到直线x+

1

2

=0的距离相等．
（1）求P点轨迹方程C，
（2）A点是曲线C上横坐标为8且在X轴上方的点，过A点且斜率为1的直线l与C的另一个交点为B，求C与l所围成的图形的面积．

Answer 1

分析：（1）直接由抛物线的定义得P点轨迹方程；
（2）求出直线l的方程，通过作草图可把要求的图形的面积用积分表示，然后通过求积分得到C与l所围成的图形的面积．

解答：解：（1）因为点P到点F（

1

2

，0）的距离与它到直线x+

1

2

=0的距离相等
所以P点轨迹为以点F（

1

2

，0）为焦点的抛物线，
其方程为y²=2x；
（2）当x=8时A点坐标为（8，4），故AF直线方程为
y-4=1×（x-8），即y=x-4．
作出曲线y²=2x，y=x-4的草图如图，
解方程组

y2=2x y=x-4

，得B（2，-2）
所求面积为S=2

∫

2 0

(

2x

)dx+

∫

8 2

(

2x

-(x-4))dx
=2

2 ∫

2 0

x

1

2

dx+

2 ∫

8 2

x

1

2

dx

-∫

8 2

xdx

+∫

8 2

4dx
=

4 2

3

x 3 2 |

2 0

+

2 2

3

x 3 2 |

8 2

-

1

2

x2|

8 2

+4

x|

8 2

=

4 2

3

×2

3

2

+

2 2

3

(8

3

2

-2

3

2

)-

1

2

(82-22)+24=18．
所以C与l所围成的图形的面积为18．

点评：本题考查了抛物线的定义，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了利用积分求曲边梯形的面积，属中档题．