Question

已知P为曲线C上任一点，若P到点F（

1

2

，0）的距离与P到直线x=-

1

2

距离相等
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点A、B，
（I）若|AB|=2

6

，求直线l的方程；
（II）试问在x轴上是否存在定点E（a，0），使

EA

•

EB

恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义，即可求得曲线C的方程；
（2）（I）设出直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式，假设弦长，即可求得结论；
（II）假设存在定点E（a，0），求出数量积，利用数量积恒为定值，可得结论．

解答：解：（1）∵P到点F（

1

2

，0）的距离与P到直线x=-

1

2

距离相等
∴P的轨迹是以F（

1

2

，0）为焦点的抛物线，方程为y²=2x；
（2）（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程为x=my+1代入抛物线方程可得y²-2my-2=0
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2
∴|AB|=

1+m2

×

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+m2

×

4m2+8

=2

6

∴m⁴+3m²-4=0
∴m²=1，∴m=±1；
（II）假设存在定点E（a，0），∵

EA

•

EB

=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=-2am²+（1-a）²-2恒为定值
∴a=0，定值为-1，此时E的坐标为（0，0）．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，考查数量积公式，属于中档题．