Question

已知点F（1，0），直线L：x=-1，P为平面上的动点，过点P作直线L的垂线，垂足为Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有

FA

•

FB

＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P的坐标为（x，y），则Q（-1，y），根据向量数量积的坐标运算公式，化简等式

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，即可得到动点P的轨迹C的方程为y²=4x；
（2）设过点M的直线l方程为x=ty+m，直线l交曲线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由直线l方程与曲线C方程消去x得关于y的一元二次方程，利用根与数的关系得

y1+y2=4t y1y2=-4m

．根据

FA

•

FB

＜0利用数量积的坐标运算，化简得x₁x₂-（x₁-x₂）+1+y₁y₂＜0．根据曲线C的方程与前面得到的等式，化简得不等式m²-6m+1＜4t²，从而得出m²-6m+1＜0，解之得m的取值范围是(3-2

2

，3+2

2

)．由此可得存在满足题中条件的正数m．

解答：解：（1）设P的坐标为（x，y），则Q（-1，y），可得

QP

=（x+1，0），

QF

=（2，-y），

FP

=（x-1，y），

FQ

=（-2，y），
∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
∴（x+1）•2=（x-1）（-2）+y²，化简得y²=4x，
即动点P的轨迹C的方程为y²=4x．
（2）设l的方程为x=ty+m，过点M（m，0）（m＞0）的直线l与
曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x=ty+m y2=4x

消去x，得y²-4ty-4m=0．…（*）
则y₁、y₂是方程（*）的两根．
∴△=16（t²+m）＞0，且

y1+y2=4t y1y2=-4m

①
又∵

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)，
∴

FA

•

FB

＜0，可得（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，即x₁x₂-（x₁-x₂）+1+y₁y₂＜0…②
由于x1x2=

y12

4

 •

y22

4

，代入不等式②可得：

y 2 1

4

•

y 2 2

4

+y1y2-(

y 2 1

4

+

y 2 2

4

)+1＜0，
化简得

( y   1 y2)2

16

+y1y2-

1

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+1＜0…③
由①式，化简不等式③得m²-6m+1＜4t²，…④
对任意实数t，不等式4t²≥0恒成立，
∴不等式④对于一切t成立等价于m²-6m+1＜0，
解之得3-2

2

＜m＜3+2

2

．
由此可得：存在正数m，对于过点M（m，0），且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，
都有

FA

•

FB

＜0，且m的取值范围是(3-2

2

，3+2

2

)．

点评：本题着重考查了动点轨迹的求法、一元二次方程根与系数的关系、直线与抛物线的位置关系和向量数量积运算等知识，同时考查了逻辑思维能力、计算能力和转化化归的数学思想等知识，属于中档题．