Question

已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k₁、k₂满足k₁•k₂=2，试推断：动直线DE是否过定点？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先求得Q的坐标，再直接设出P的坐标，代入已知的式子化简整理即可．
（2）直接设DE的直线方程y=kx+b，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），与曲线C的方程联立、消元，由维达定理和AD、AE的斜率之积等于2得到k和b的关系，代入DE的直线方程，问题即可求解．

解答：解：（1）设P（x，y），则Q（-1，y）
代入

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
得2（x+1）=-2（x-1）+y²．
化简得y²=4x
（2）将A（m，2）代入y²=4x，得m=1，∴A（1，2）．
设直线AD斜率为k₁，直线AE斜率为k₂，
∵k₁•k₂=2，∴DE两点不可能关于x轴对称．∴DE的斜率必存在，设为k．
设直线DE的方程y=kx+b，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．
由

y=kx+b y2=4x

，得k²x²+2（kb-2）x+b²=0
∴x1+x2=

-2(kb-2)

k2

，x1x2=

b2

k2

∵k₁•k₂=2，∴

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=2(x1，x2≠1)
且y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b∴（k²-2）x₁x₂+（kb-2k+2）（x₁+x₂）+（b-2）²-2=0．
将 x1+x2=

-2(kb-2)

k2

，x1x2=

b2

k2

代入化简，得b²=（k-2）²，∴b=±（k-2）．
将b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k（x+1）-2，直线过定点（-1，-2）；
将b=2-k代入y=kx+b得y=kx+2-k=k（x-1）+2．直线过定点（1，2）即为A点，舍去．
∴直线DE过定点为（-1，-2）

点评：本题考查直接法求轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、直线过定点问题．考查推理能力和运算能力．