Question

（2013•惠州一模）已知f(x)=lnx，g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．
（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的极大值．

Answer 1

分析：（1）先确定直线l的方程为y=x-1，利用直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），建立方程，即可求得g（x）的解析式；
（2）确定函数h（x）的解析式，利用导数求得函数的单调性，即可求函数h（x）的极大值．

解答：解：（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，
∴直线l的方程为y=x-1．…（2分）
又因为直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），
∴g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n在点（1，0）的导函数值为1．
∴

g(1)=0 g′(1)=1

，∴

m=-1 n= 1 6

，…（4分）
∴g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2-x+

1

6

…（6分）
（2）∵h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x²-x+1（x＞0）…（7分）
∴h′(x)=

1

x

-2x-1=

1-2x2-x

x

=-

(2x-1)(x+1)

x

…（9分）
令h′（x）=0，得x=

1

2

或x=-1（舍）…（10分）
当0＜x＜

1

2

时，h′（x）＞0，h（x）递增；当x＞

1

2

时，h′（x）＜0，h（x）递减…（12分）
因此，当x=

1

2

时，h（x）取得极大值，
∴[h（x）]_极大=h(

1

2

)=ln

1

2

+

1

4

…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查切线方程，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，正确求导是关键．