Question

若f(x)=loga(-x2+logax)对任意x∈(0，

1

2

)恒意义，则实数a的范围

[

1

16

，1)

．

Answer 1

分析：根据对数函数成立的条件进行讨论，分别进行求解即可．

解答：解：要使函数f（x）有意义，则当意x∈(0，

1

2

)时，-x²+log_ax＞0恒成立，
即log ax＞x2．
若a＞1时，当x∈(0，

1

2

)时log_ax＜0，此时不成立．
若0＜a＜1，当x∈(0，

1

2

)时，作出函数y=log_ax和y=x²的图象，
当x=

1

2

时，log a

1

2

=

1

4

，得a 

1

4

=

1

2

，
即a=

1

16

，
∴若f(x)=loga(-x2+logax)对任意x∈(0，

1

2

)恒意义，
则

1

16

≤a＜1，
即实数a的范围是[

1

16

，1)．
故答案为：[

1

16

，1)．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．