Question

【题目】已知函数，．

（1）当a＝1时，求：①函数在点P(1，)处的切线方程；②函数的单调区间和极值；

（2）若不等式恒成立，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）①切线方程；②单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值；（2）1

【解析】

（1）①a＝1时，f（x），f′（x），可得f′（1）＝1，又f（1）＝0．利用点斜式即可得出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．

②令f′（x）0，解得x＝e．通过列表可得函数f（x）的单调递区间及其极值．

（2）由题意可得：x＞0，由不等式恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立．令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）．g′（x）＝1．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

（1）①，所以，又，

所以切线方程为，即.

②，得.

	+	0	-
	递增	极大值	递减

可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值.

（2）由题意知，∴不等式恒成立，

即恒成立.

设，则有.

，

（Ⅰ）若，则在上单调递增，

又，所以在上，不符合；

（Ⅱ）若，则在上，即单调递增，

又，所以在上，不符合；

（Ⅲ）若，则在上，即单调递增，在上，即单调递减，

又，所以恒成立，符合；

（Ⅳ）若，则在上，即单调递减，

又，所以在上，不符合.

综上可得的值为1.