Question

已知动点P（x，y）与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的两个焦点F₁，F₂的连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．
（1）求动点P的轨迹C方程；
（2）试根据λ的取值情况讨论C的形状．

Answer 1

分析：（1）由椭圆方程求出其两个焦点的坐标，再由kPF1•kPF2=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，整理求出动点P的轨迹C的方程；
（2）根据λ的不同取值范围，结合圆与圆锥曲线的定义得答案．

解答：解：（1）由椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，得其两个焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），
又动点P（x，y）与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的两个焦点F₁，F₂的连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．
∴kPF1•kPF2=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，
理得x2-

y2

λ

=1（λ≠0，x≠±1）；
（2）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；
②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）；
③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）；
④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，考查了圆锥曲线的定义，注意分类讨论的数学思想方法，是中档题．