Question

在直角坐标系xOy中，直线l过点P（-2，-4），倾斜角为

π

4

．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2acosθ（a＞0）．
（1）写出直线l的参数方程及曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，且|PM|•|PN|=40，求实数a的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由已知可得直线l的参数方程为：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2acosθ（a＞0）可得ρ²sin²θ=2aρcosθ．即可得出普通方程．
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，则有t₁t₂=8（4+a），利用参数的意义即可得出．

解答： 解：（1）由直线l过点P（-2，-4），倾斜角为

π

4

．可得直线l的参数方程为：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），
曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2acosθ（a＞0）可得ρ²sin²θ=2aρcosθ．
可得：曲线C的普通方程为：y²=2ax．
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y²=2ax，
得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，则有t₁t₂=8（4+a），
∵|PM||PN|=40，
∴t₁t₂=8（4+a）=40，解得a=1．

点评：本题考查了抛物线的极坐标方程化为普通方程、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于基础题．