Question

已知椭圆E的左，右焦点坐标分别为（-2，0），（2，0），离心率是

6

3

，过左焦点任作一条与坐标轴不垂直的直线交E于A、B两点．
（1）求E的方程；
（2）已知点M（-3，0），试判断直线AM与直线BM的倾斜角是否总是互补，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意知

c=2 c a = 6 3

，由此能求出椭圆方程．
（2）直线AM与直线BM的倾斜角总是互补．理由如下：设AB的方程为：y=k（x+2），k≠0，联立

y=k(x+2) x2 6 + y2 2 =1

，得（1+3k²）x²+12k²x+12k²-6=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

-12k2

1+3k2

，x1•x2=

12k2-6

1+3k2

，由此得到k_AM=-k_BM，故直线AM与直线BM的倾斜角总是互补．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意知

c=2 c a = 6 3

，
解得a²=6，b²=2，
∴椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）直线AM与直线BM的倾斜角总是互补．理由如下：
根据题意设AB的方程为：y=k（x+2），k≠0，
联立

y=k(x+2) x2 6 + y2 2 =1

，得（1+3k²）x²+12k²x+12k²-6=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=

-12k2

1+3k2

，①
x1•x2=

12k2-6

1+3k2

，②
kAM+kBM=

y1

x1+3

+

y2

x2+3

=

k(x1+2)

x1+3

+

k(x2+2)

x2+3

=

k[2x1x2+5(x1+x2)+12]

x1x2+3(x1+x2)+9

，
把①②代入，得2x₁x₂+5（x₁+x₂）+12=0，
∴k_AM+k_BM=0，即k_AM=-k_BM，
∴直线AM与直线BM的倾斜角总是互补．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．