Question

【题目】已知函数

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，求函数的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上递增，在上递减． （2）当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点．

【解析】

(1)由题意，求得函数的导数，分类讨论，利用导数，即可求解函数的单调区间；

(2) 由(1)可知，利用函数的单调性，求得函数的最大值，分类讨论，即可得到函数的零点个数．

的定义域为．

(1) ，

①当时，，故在上单调递增；

②当时，令，则，

在上，，单调递增，

在上，，单调递减．

综上所述：当时， 在上单调递增；当时，在上递增，在上递减．

(2) 由(1)可知，当时，在上递增，在上递减．

故，

①当，即时，，此时函数没有零点．

②当，即时，，此时函数有一个零点．

③当，即时，，

令且，则，，

故，故在有一个零点；

再者，，

令，则；再令，

则，故在上单调递减，

故，．

故，故在上有一个零点．

故在上有两个零点．

综上所述：当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点．