Question

已知b＞-1,c＞0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x²+bx+c的图象相切.

(1)求b与c的关系式(用c表示b)；

(2)设函数F(x)=f(x)g(x)在(-∞,+∞)内有极值点,求c的取值范围.

Answer 1

解:(1)依题意,令f′(x)=g′(x),

    得2x+b=1,故x=.

    由f()=g(),得(b+1)²=4c.

    ∵b＞-1,c＞0,

    ∴b=-1+2c.

    (2)F(x)=f(x)g(x)=x³+2bx²+(b²+c)x+bc.

    ∴F′(x)=3x²+4bx+b²+c.

    令F′(x)=0,

    即3x²+4bx+b²+c=0,

    则Δ=16b²-12(b²+c)=4(b²-3c).

    若Δ=0,则F′(x)=0有一个实根x₀,且F′(x)的变化如下:

x	(-∞,x0)	x0	(x0,+∞)
F′(x)	+	0	+

    于是x=x₀不是函数F(x)的极值点.

    若Δ＞0,则F′(x)=0有两个不相等的实根x₁、x₂(x₁＜x₂),且F′(x)的变化如下:

x	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
F′(x)	+	0	-	0	+

    由此,x=x₁是函数F(x)的极大值点,x=x₂是F(x)的极小值点.

    综上所述,当且仅当Δ＞0时,函数F(x)在(-∞,+∞)上有极值点.

    由Δ=4(b²-3c)＞0得b＜-或b＞.

    ∵b=-1+2,∴-1+2＜-或-1+2＞.

    解得0＜c＜7-4或c＞7+4.

    故所求c的取值范围是(0,7-4)∪(7+4,+∞).