Question

16．已知圆C的方程为x²+y²+（m-2）x+（m+1）y+m-2=0．根据下列条件确定实数m的取值．并写出相应的圆心坐标和半径．
（1）圆的面积最小；
（2）圆心距离坐标原点最近．

Answer 1

分析 （1）由圆的方程可得圆心坐标为（$\frac{2-m}{2}$，$\frac{-m-1}{2}$），半径r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2{m}^{2}-6m+13}$，由二次函数的最值可得；
（2）可得距离d=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2{m}^{2}-2m+5}$，由二次函数可得．

解答 解：（1）∵圆C的方程为x²+y²+（m-2）x+（m+1）y+m-2=0，
∴圆心坐标为（$\frac{2-m}{2}$，$\frac{-m-1}{2}$），
半径r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（m-2）^{2}+（m+1）^{2}-4（m-2）}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2{m}^{2}-6m+13}$
由开口向上的二次函数的性质知当m=-$\frac{-6}{2×2}$=$\frac{3}{2}$时，半径取最小值$\frac{\sqrt{34}}{4}$，圆的面积最小，
此时圆心为（$\frac{1}{4}$，-$\frac{5}{4}$），半径r=$\frac{\sqrt{34}}{4}$；
（2）由（1）圆心与原点的距离d=$\sqrt{（\frac{2-m}{2}）^{2}+（\frac{-m-1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2{m}^{2}-2m+5}$，
由二次函数知当m=-$\frac{-2}{2×2}$=$\frac{1}{2}$时，圆心距离坐标原点最近，
此时圆心为（$\frac{3}{4}$，-$\frac{3}{4}$），半径r=$\frac{\sqrt{42}}{4}$

点评 本题考查圆的一般式方程，涉及二次函数的最值，属中档题．