Question

已知曲线C：y²=2x-4．
（1）求曲线C在点A（3，

2

）处的切线方程；
（2）过原点O作直线l与曲线C交于A，B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）y＞0时，y=

2x-4

，求导数，可得切线的斜率，从而可求曲线C在点A（3，

2

）处的切线方程；
（2）设l：y=kx代入y²=2x-4，利用韦达定理，结合中点坐标公式，即可求出线段AB的中点M的轨迹方程．

解答： 解：（1）y＞0时，y=

2x-4

，
∴y′=

1

2x-4

，
∴x=3时，y′=

2

2

，
∴曲线C在点A（3，

2

）处的切线方程为y-

2

=

2

2

（x-3），即x-

2

y-1=0；
（2）设l：y=kx，M（x，y），则
y=kx代入y²=2x-4，可得k²x²-2x+4=0，
∴△=4-16k²＞0，∴

1

2k2

＞2
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2

k2

，
∴y₁+y₂=

2

k

∴x=

1

k2

，y=

1

k

，
∴y²=x（x＞4）．

点评：本题考查导数的几何意义，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．