Question

（2013•天津一模）已知函数f（x）=ax³+x²-ax，其中a，x∈R．
（ I）当a=1时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若x∈[0，3]时，函数f（x）在x=0处取得最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求导后由导函数小于0得到原函数的减区间；
（Ⅱ）把函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数转化为函数的导函数在区间（1，2）上有不重复的零点，根据导函数有零点，分离变量后求出函数的值域，则a的范围可求；
（Ⅲ）由x∈[0，3]时，函数f（x）在x=0处取得最小值，转化为x∈[0，3]时，ax²+x-a≥0恒成立，分类讨论即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x³+x²-x．f'（x）=3x²+2x-1，
由f'（x）＜0，即3x²+2x-1＜0，得-1＜x＜

1

3

，
即当a=1时，函数f（x）的单调递减区间为(-1，

1

3

)．
（Ⅱ）由f'（x）=3ax²+2x-a．
要使函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，
则方程f'（x）=0在区间（1，2）内有不重复的零点，
而△=4+12a²＞0，由3ax²+2x-a=0，得a（3x²-1）=-2x
∵x∈（1，2），∴（3x²-1）≠0，∴a=-

2x

3x2-1

；
令u=-

2x

3x2-1

（x∈（1，2）），则u=-

2

3x- 1 x

，
∴u=-

2x

3x2-1

在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为(-1，-

4

11

)，
故a的取值范围是(-1，-

4

11

)．
（Ⅲ）由题意可知，当x∈[0，3]时，f（x）≥f（0）=0恒成立，
即x∈[0，3]时，ax²+x-a≥0恒成立．
记h（x）=ax²+x-a
当a=0时，h（x）=x≥0在x∈[0，3]时恒成立，符合题意；
当a＞0时，由于h（0）=-a＜0，则不符合题意；
当a＜0时，由于h（0）=-a＞0，则只需h（3）=8a+3≥0，得a≥-

3

8

，
即-

3

8

≤a＜0．
综上，-

3

8

≤a≤0．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．