Question

已知在数列{a_n}中，a₁=-1，a₂=2，a_n+1+a_n-1=2（a_n+1）（n≥2，n∈N₊）．
（1）求证：数列{a_n-a_n-1}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系结合等差数列的定义即可证明数列{a_n-a_n-1}是等差数列；
（2）求根据数列{a_n-a_n-1}是等差数列，求出数列{a_n-a_n-1}的通项公式，利用累加法即可求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）因为a_n+1+a_n-1=2（a_n+1）可化为（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，
所以数列{a_n-a_n-1}是一个首项为a₂-a₁=3，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知a_n-a_n-1=3+2（n-2）=2n-1，
所以（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）=a_n-a₁=（2n-1）+（2n-3）+…+3，
所以a_n=-1+3+…+（2n-1）=-2+[1+3+…+（2n-1）]
=-2+

n[1+(2n-1)]

2

=n²-2（n≥2，n∈N₊）．
因为1²-2=-1=a₁，
所以a₁也适合a_n=n²-2，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=n²-2．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求解以及等差数列的证明，利用递推数列进行转化是解决本题的关键．