Question

已知动点M到点(0,)的距离比它到直线y=-的距离小.

(1)求动点M的轨迹方程;

(2)已知A、B、C为(1)中轨迹上三个不同的点.

①若·+=0(A、B异于原点O),求证:直线OB与过A点且与x轴垂直的直线l的交点N在一条定直线上;

②如果直线AB和AC都与圆I:x²+(y-2)²=1相切,试判断直线BC与圆I的位置关系,并证明你的结论.

Answer 1

解:(1)方法一:设M(x,y)为所求轨迹上任一点,则+=y+,两边平方整理得轨迹C的方程为y=x².                                                

方法二:由题意,M到定点(0,)的距离与它到定直线y=-的距离相等,由抛物线的定义可知,M点轨迹C的方程为x²=y.                                           

(2)①设A(a,a²),B(b,b²),N(x,y).(ab≠0)·+=0ab+a²b²+=0ab=-.

直线OB的方程:y=bx,                                            ①

直线l的方程:x=a,                                               ②

把②代入①得y=ab=-.∵a=x≠0,

∴y=-(x≠0).故点N在定直线y=-上.                                   

②方法一:直线AB、AC、BC的方程分别为(a+b)x-y-ab=0,(a+c)x-y-ac=0,(b+c)x-y-bc=0,

由于AB是圆I的切线,则=1,整理得(a²-1)b²+2ab+3-a²=0,

同理,(a²-1)c²+2ac+3-a²=0.

∴b、c是方程(a²-1)x²+2ax+3-a²=0的两根.b+c=,bc=,于是圆心I到直线BC的距离

d===1,故BC也与圆I相切.                  

方法二:由于AB是圆I的切线,

∴方程组有唯一解,消去y得［(a+b)²+1］x²-2(a+b)(ab+2)x+(ab+2)²-1=0有重根.

∴Δ=4(a+b)²(ab+2)²-4［(a+b)²+1］［(ab+2)²-1］=0,

4［(a+b)²-(ab+2)²+1］=0,即(a²-1)b²+2ab+3-a²=0.

同理,有(a²-1)c²+2ac+3-a²=0.

∴b、c是方程(a²-1)x²+2ax+3-a²=0的两根.

∴b+c=,bc=.                                              (*)

要证BC与圆I相切,可知只需证Δ′=4［(b+c)²-(bc+2)²+1］=0,事实上由(*),

Δ′=4［()²-(+2)²+1］=4×=0,

∴BC与圆I相切.