Question

已知函数y=x+

t

x

有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数（0，

t

]上是减函数，在[

t

，+∞）上是增函数．
（1）已知f（x）=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域．
（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x），若对于任意的x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）将2x+1看成整体，研究对勾函数的单调性从而求出函数的值域，以及利用复合函数的单调性的性质得到该函数的单调性；
（2）对于任意的x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）可转化成f（x）的值域为g（x）的值域的子集，建立关系式，解之即可．

解答：解：（1）f（x）=

4x2-12x-3

2x+1

=2x+1+

4

2x+1

-8，
设u=2x+1，x∈[0，1]，则1≤u≤3，则y=u+

4

u

-8，u∈[1，3]，由已知性质得，
当1≤u≤2，即0≤x≤

1

2

时，f（x）单调递减，所以递减区间为[0，

1

2

]
当2≤u≤3，即

1

2

≤x≤1时，f（x）单调递增，所以递增区间为[

1

2

，1]
由f（0）=-3，f（

1

2

）=-4，f（1）=-

11

3

，得f（x）的值域为[-4，-3]
（2）由于g（x）=-x-2a为减函数，故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]，
由题意，f（x）的值域为g（x）的值域的子集，从而有

-1-2a≤-4 -2a≥-3

所以 a=

3

2

点评：本题主要考查了利用单调性求函数的值域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．