Question

（1）利用函数单调性的定义证明函数h(x)=x+

3

x

在[

3

，∞)上是增函数；
（2）我们可将问题（1）的情况推广到以下一般性的正确结论：已知函数y=x+

t

x

有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在(0，

t

]上是减函数，在[

t

，+∞)上是增函数．
若已知函数f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，利用上述性质求出函数f（x）的单调区间；又已知函数g（x）=-x-2a，问是否存在这样的实数a，使得对于任意的x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，若不存在，请说明理由；如存在，请求出这样的实数a的值．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义进行证明．
（2）根据推广的结论，确定函数f（x）的单调区间，利用条件g（x₂）=f（x₁）成立，建立条件关系，即可求a．

解答：解：（1）设x1，x2∈[

3

，+∞)，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=x1+

3

x1

-x2-

3

x2

=

(x1-x2)(x1x2-3)

x1x2

，
∵x2＞x1≥

3

，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞3．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
因此，函数在给定的区间上单调递增．
（2）∵y=f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

=2x+1+

4

2x+1

-8，
设u=2x+1，x∈[0，1]，
则1≤u≤3，
则y=u+

4

u

-8，u∈[1，3]，
由已知性质得，
当1≤u≤2，即0≤x≤

1

2

时，f（x）单调递减，
∴递减区间为[0，

1

2

]，
当2≤u≤3，即

1

2

≤x≤1时，f（x）单调递增，
∴递增区间为[

1

2

，1]．
由f(0)=-3，f(

1

2

)=-4，f(1)=-

11

3

，
得f（x）的值域为[-4，-3]，
由于g（x）=-x-2a为减函数，
故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]
由题意，f（x）的值域为g（x）的值域的子集，
从而有

-1-2a≤-4 -2a≥-3

，
∴a=

3

2

，
∴存在满足条件的值．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明，以及对勾函数的性质，考查学生的理解和应用能力．