Question

已知函数f（x）=1-

1

x

（x≠0）
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）利用函数单调性定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=1-

1

x

（x≠0），可得 f（-1）≠f（1），且 f（-1）≠-f（-1），故不是奇函数，也不是偶函数，
（2）设x₂＞x₁＞0，化简可得 f（x₁）-f（x₂）＜0，从而得到函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．

解答：解：（1）函数f（x）=1-

1

x

（x≠0）既不是奇函数，也不是偶函数，理由如下：
f（x）=1-

1

x

（x≠0）的定义域关于原点对称，注意到f（-1）=2，f（1）=1-1=0，
∴f（-1）≠f（1），且 f（-1）≠-f（-1），
∴函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）设x₂＞x₁＞0，
∵f（x₁）-f（x₂）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1•x2

，
由题设可得，x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即  f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，函数的单调性的判断和证明，属于中档题．