Question

已知函数f（x）=1+cos2x-2sin²（x-

π

6

），其中x∈R，则下列结论中正确的是（　　）

• A．f（x）的最大值为2
• B．f（x）是最小正周期为π的偶函数
• C．将函数y=

  3

  sin2x的图象向左平移

  π

  6

  得到函数f（x）的图象
• D．f（x）的一条对称轴为x=

  π

  3

Answer 1

分析：利用三角函数的恒等变换，把函数化为f（x）=

3

cos（2x-

π

6

），可得它的最大值为

3

，故排除A．再根据函数的最小正周期为π，且是非奇非偶函数，故排除B．将函数y=

3

sin2x的图象向左平移

π

6

得到函数y=

3

sin2（x-

π

6

），利用诱导公式可得得到函数函数f（x）=

3

cos（2x-

π

6

） 的图象，故C正确．令2x-

π

6

=kπ，k∈z，可得对称轴方程为 x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z，故D不正确．

解答：解：∵函数f（x）=1+cos2x-2sin²（x-

π

6

）═1+cos2x-2×

1-cos(2x- π 3 )

2

=cos2x+cos（2x-

π

3

）=2cos（2x-

π

6

）cos

π

6

=

3

cos（2x-

π

6

），
即 f（x）=

3

cos（2x-

π

6

）．
故函数的最大值为

3

，故排除A．
故函数的最小正周期为π，且是非奇非偶函数，故排除B．
将函数y=

3

sin2x的图象向左平移

π

6

得到函数y=

3

sin2（x-

π

6

）=

3

sin（2x-

π

3

）=cos[

π

2

-（2x-

π

3

）]=

3

cos（-2x+

π

6

）=

3

cos（2x-

π

6

）=f（x）的图象，故C正确．
令2x-

π

6

=kπ，k∈z，可得对称轴方程为 x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z，故D不正确．
故选C．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦函数公式，积化和差公式，余弦函数的对称性及奇偶性，以及三角函数图象的平移规律，其中灵活运用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的余弦函数是解本题的关键，属于中档题．