Question

已知函数f（x）=

1-x

ax

+lnx(a＞0)
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（3）当a=1时，求证对任意大于1的正整数n，lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

恒成立．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导函数大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范围．
（2）将a=1代入函数f（x）的解析式，判断其单调性进而得到最大值和最小值．
（3）先判断函数f（x）的单调性，令x=

n

n-1

代入函数f（x）根据单调性得到不等式ln

n

n-1

＞

1

n

，令n=1，2，…代入可证．

解答：解：（1）∵f（x）=

1-x

ax

+lnx
∴f′（x）=

ax-1

ax2

（a＞0）
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数
∴f′（x）=

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即a≥

1

x

对x∈[1，+∞）恒成立
∴a≥1
（2）当a=1时，f′（x）=

x-1

x2

，
∴当x∈[

1

2

，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在x∈[

1

2

，1）上单调递减；
当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上单调递增，
∴f（x）在区间[

1

2

，2]上有唯一极小值点，故f（x）_min=f（x）_极小值=f（1）=0
又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，f（

1

2

）-f（2）=

3

2

-2ln2=

lne3-ln16

2

∵e³＞16
∴f（

1

2

）-f（2）＞0，即f（

1

2

）＞f（2）
∴f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值f（x）max=f（

1

2

）=1-ln2．
综上可知，函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．
（3）当a=1时，f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）=

x-1

x2

，
故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
当n＞1时，令x=

n

n-1

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，即ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，ln

4

3

＞

1

4

，…，ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

∴lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

即对大于1的任意正整数n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

点评：此题是个中档题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好的考查了学生的计算能力．