Question

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，K∈BB₁，M∈CC₁，且BK=$\frac{1}{4}$BB₁，CM=$\frac{3}{4}$CC₁，求平面AKM与ABCD所成锐角的正切值．

Answer 1

分析 作出二面角的棱，作出二面角的平面角，通过求解三角形求出结果即可．

解答 解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，K∈BB₁，M∈CC₁，且BK=$\frac{1}{4}$BB₁，CM=$\frac{3}{4}$CC₁，延长MK与CB的延长线交于P，连结AP，则AP就是平面AKM与平面ABCD的交线，即二面角的棱，
作BO⊥AP于O，连结KO，由三垂线定理可知∠KOB，就是平面AKM与平面ABCD所成二面角的平面角，
设正方体的棱长为4，则CM=3，BK=1，BC=4则BP=2，
∵AB=4，∴AP=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$2$\sqrt{5}$，
∴BO=$\frac{AB•BP}{AP}$=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
平面AKM与平面ABCD所成锐角的正切值：$\frac{BK}{BO}$=$\frac{2}{\frac{4\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，作出二面角的平面角，二面角的棱是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．