Question

15．已知点P（sinα，cosα），Q（2cosβ，2sinβ），若$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$），则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的值为$\frac{25}{18}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$）=$\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$，可得2cosβ-sinα=$\frac{4}{3}$，2sinβ-cosα=-$\frac{2}{3}$，平方相加即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$）=$\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$=（2cosβ-sinα，2sinβ-cosα），
∴2cosβ-sinα=$\frac{4}{3}$，2sinβ-cosα=-$\frac{2}{3}$，
∴4cos²β-4cosβsinα+sin²α=$\frac{16}{9}$，4sin²β-4sinβcosα+cos²α=$\frac{4}{9}$，
∴4-4（cosβsinα+sinβcosα）+1=$\frac{20}{9}$，
∴cosβsinα+sinβcosα=$\frac{25}{36}$．
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=2cosβ•sinα+2sinβcosα=$2×\frac{25}{36}$=$\frac{25}{18}$．
故答案为：$\frac{25}{18}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．