Question

20．已知x∈（0，$\frac{π}{2}$），求函数f（x）=3cosx+4$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$的最大值，并说明等号成立的条件．

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow{m}$=（3，4），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$），可得f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$≤|$\overrightarrow{m}$||$\overrightarrow{n}$|由向量的模长公式可得．

解答 解：设向量$\overrightarrow{m}$=（3，4），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$），
∴f（x）=3cosx+4$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$≤|$\overrightarrow{m}$||$\overrightarrow{n}$|
=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$•$\sqrt{co{s}^{2}x+1+si{n}^{2}x}$=5$\sqrt{2}$，
当且仅当$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$时，上式取等号．
∴所求最大值为5$\sqrt{2}$，此时$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$

点评 本题考查三角函数的最值，构造向量是解决问题的关键，属中档题．