Question

9．已知数列{an}是等差数列，且满足等式n•2^n-1=a₁${C}_{n}^{1}$+a₂${C}_{n}^{2}$+…+a_n${C}_{n}^{n}$（n∈N^*），试求出这个等差数列的通项a_n．

Answer 1

分析 由n•2^n-1=a₁${C}_{n}^{1}$+a₂${C}_{n}^{2}$+…+a_n${C}_{n}^{n}$（n∈N^*），可得：a₁=1，a₂=2，a₃=3．猜想：a_n=n（n∈N^*）．根据$r{∁}_{k+1}^{r}$=$（k+1）{∁}_{k}^{r-1}$，利用数学归纳法证明即可．

解答 解：由n•2^n-1=a₁${C}_{n}^{1}$+a₂${C}_{n}^{2}$+…+a_n${C}_{n}^{n}$（n∈N^*），可得：
当n=1时，a₁=1；当n=2时，2×2=${∁}_{2}^{1}$+a₂，解得a₂=2；同理可得a₃=3．
猜想：a_n=n（n∈N^*）．
下面利用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，显然成立；
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，a_k=k；
则当n=k+1时，（k+1）•2^k=${∁}_{k+1}^{1}$+2${∁}_{k+1}^{2}$+…+$k{∁}_{k+1}^{k}$+a_k+1，
根据$r{∁}_{k+1}^{r}$=$（k+1）{∁}_{k}^{r-1}$，
∴（k+1）•2^k=$（k+1）{∁}_{k}^{0}$+$（k+1）{∁}_{k}^{1}$+…+$（k+1）{∁}_{k}^{k-1}$+a_k+1=（k+1）（2^k-1）+a_k+1，
∴a_k+1=k+1．
∴当n=k+1时，命题成立．
综上可得：a_n=n（n∈N^*）成立．

点评 本题考查了排列组合的性质、数学归纳法，考查了猜想归纳能力、推理能力与计算能力，属于中档题．