Question

17．已知过抛物线y²=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过原点O作$\overrightarrow{OM}$，使$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$，垂足为M，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 由题中条件$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$，从而得出点M的轨迹是以OF为直径的圆，依据其圆心（$\frac{1}{2}$，0），半径为$\frac{1}{2}$，写出其方程即可求得点M的轨迹方程．

解答 解：∵$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
∴∠OMF=90°，
∴点M的轨迹是以OF为直径的圆，其圆心（$\frac{1}{2}$，0），半径为$\frac{1}{2}$．
其方程为：（x-$\frac{1}{2}$^）2+y²=$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了圆锥曲线的轨迹问题、抛物线的标准方程与性质．考查了学生分析和解决问题的能力，比较基础．