Question

7．已知两圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和C₂：（x-4）²+（y-5）²=4．
（1）若过点（0，1）的直线l与两圆相交所得的弦相等，求直线l的方程；
（2）若过点（-1.5，3.5）存在两条互相垂直的直线l和m，它们分别与两圆相交所得的弦相等，求直线l和m的方程．

Answer 1

分析 （1）设出直线方程，利用过点（0，1）的直线l与两圆相交所得的弦相等，圆的半径相等，圆心到直线的距离相等，即可求出直线方程；
（2）分类讨论，设出直线方程，利用过点（0，1）的直线l与两圆相交所得的弦相等，圆的半径相等，圆心到直线的距离相等，即可求出直线方程；

解答 解：（1）设直线方程为y=kx+1，即kx-y+1=0，
∵过点（0，1）的直线l与两圆相交所得的弦相等，圆的半径相等，
∴圆心到直线的距离相等，即$\frac{|-3k-1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|4k-5+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，∴k=4或$\frac{4}{7}$；
（2）设l：y-3.5=t（x+1.5），则m：y-3.5=-$\frac{1}{t}$（x+1.5），
∵过点（-1.5，3.5）存在两条互相垂直的直线l和m，它们分别与两圆相交所得的弦相等，
∴圆心到直线的距离相等，即$\frac{|-3t-4+1.5t+3.5|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=$\frac{|4+5t-3.5t+1.5|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，∴t=-2，
∴l：2x+y-0.5=0，m：x-2y+8.5=0，
斜率不存在时，l：x=-1.5，m：y=3.5也满足题意．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．